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Coluna do Astrônomo

Os Primórdios da Relatividade: O Eletromagnetismo

O caminho histórico que nos leva à Teoria da Relatividade, proposta pelo físico alemão Albert Einstein (1879-1955) em 1905 e posteriormente generalizada por ele mesmo em 1915, começa (se é que é possível fixar um início exato para uma revolução ou descoberta) com a unificação da eletricidade e do magnetismo, cujo primeiro vislumbre se deu através dos experimentos do físico dinamarquês Hans Christian Orsted (1777-1851).

Antes dele, muitos já cogitavam a hipótese de que eletricidade e magnetismo possuíam algum tipo de relação. Afinal, ambos apresentam-se em dois aspectos opostos (no caso da eletricidade, temos as cargas positivas e negativas; no caso do magnetismo, temos os pólos norte e sul). Nos dois casos os opostos se atraem e os semelhantes se repelem. Ainda em ambos os casos, as forças de repulsão e atração diminuem com o quadrado da distância (dobre-se a distância entre duas cargas ou pólos e a força que sentiam será quatro vezes menor do que antes).

Em 1820, Orsted (em sala de aula) aproximou o ponteiro de uma bússola de um fio por onde passava uma corrente elétrica. Para surpresa geral, o ponteiro mudava sua posição, deixando de indicar o pólo norte. Caso a corrente fosse invertida, invertia-se também a posição do ponteiro. Ficava claro que a presença de uma corrente elétrica no fio perturbava as propriedades magnéticas das proximidades.

Esta idéia ganhou força com os experimentos de outros eminentes físicos da época. Ainda em 1820, o francês André-Marie Ampère (1775-1836) mostrou que dois fios paralelos que apresentassem correntes na mesma direção se atraíam. Se as correntes fossem em direção oposta, os fios se repeliam. Outro francês, François Aragos (1786-1853), demonstrou que se uma corrente passasse por um fio de cobre, este poderia atrair e manter filamentos de ferro, exatamente como um ímã. Por fim, o alemão Johann Schweigger (1779-1857) observou que a quantidade de deflexão da agulha variava em proporção à força da corrente no fio, em referência à experiência original de Orsted (inventando assim o galvanômetro – aparelho que mede a intensidade da corrente em um fio).

Estas descobertas provocaram uma avalanche de experimentos científicos. No ano seguinte, o físico inglês Michael Faraday (1791-1867) organizou um circuito elétrico que incluía dois fios e dois magnetos. Em um dos casos, o fio era fixo e o ímã era móvel. No outro, era o ímã que ficava fixo e o fio móvel. Quando a corrente passava através do fio, o fio móvel movia-se em torno do magneto fixo e o magneto móvel movia-se em torno do fio fixo. Dessa maneira, Faraday demonstrou pela primeira vez que as forças elétricas podiam produzir movimento.

Independente desta conclusão (que daria origem ao dínamo e aos motores elétricos), Faraday propôs a existência de linhas de força ao redor do fio: um campo magnético gerado pela corrente. Começou com esta experiência a concepção que hoje é um dos pontos centrais da física: a de que o Universo é permeado por campos, que são os condutores das forças.

Paralelamente a estas descobertas físicas, o matemático alemão Carl Gauss (1777-1855) desenvolveu seu teorema da divergência (também conhecido por teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a quantidade contida no volume definido por esta superfície. Uma vez que se percebeu que a eletricidade e o magnetismo podiam ser representados por campos, o teorema de Gauss simplificava bastante a compreensão de certos resultados.

Dispondo do cálculo integral e diferencial, o matemático britânico James Clerk Maxwell (1831-1879) conseguiu, em 1855, traduzir o conceito de Faraday para a forma matemática e demonstrar que a visão intuitiva do físico inglês sobre as linhas de força estava correta. Maxwell teve a habilidade necessária para compilar os trabalhos da época e interligá-los em um conjunto de quatro equações que são conhecidas como as equações de Maxwell.

Estas equações nos mostram que uma variação do campo elétrico gera um campo magnético e vice-versa. Assim, ao se propagar no vácuo (ou em qualquer outro meio), uma onda elétrica gera uma onda magnética. Temos, na verdade, um conjunto indissolúvel conhecido como onda eletromagnética. Estavam unificados os campos elétrico e magnético, dando origem ao ramo da física conhecido por eletromagnetismo.

Não por acaso, a velocidade calculada para a onda eletromagnética coincidia com o valor conhecido na época (bastante correto) para a velocidade da luz. Sabia-se também, através dos resultados experimentais obtidos em 1801 pelo físico inglês Thomas Young (1773-1829) envolvendo os fenômenos de difração e interferência, que a luz era uma onda. Ela, que já havia sido “o mais imaterial dos corpos” segundo os neoplatônicos, e também um fluxo contínuo de corpúsculos como primeiramente pensado por Isaac Newton (1642-1727), mostrava-se agora como uma onda eletromagnética. Este novo status permitia uma manipulação numérica mais precisa e conseqüente melhora nos resultados experimentais e nas previsões teóricas.

Mas, se a luz é uma onda – e uma onda nada mais é do que uma perturbação em um certo meio – o que a onda luz ondula, afinal?

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A Relatividade e o Espaço

Quando falamos sobre o tempo, vimos que quando a velocidade relativa entre dois sistemas de referência (digamos, um sistema terrestre e um sistema em um foguete) é muito grande, devemos relacioná-los através de um conjunto de equações conhecido como transformações de Lorentz.

Se considerarmos uma velocidade relativa , paralela ao eixo , teremos:

A equação do tempo nos mostrou que relógios em movimento medem o tempo mais lentamente do que relógios em repouso. A transformação para a coordenada espacial, veremos, nos diz que o espaço se contrai na direção do movimento.

Imaginemos uma régua de um metro, que será acelerada até atingir metade da velocidade da luz. Quem estiver em movimento com ela obviamente a verá parada:

Mas quem estiver parado, medirá:

Mas uma medição de um certo comprimento deve ser feita simultaneamente em ambos os lados. Portanto e

Substituindo os valores, teremos:

Quem estiver parado, vai medir o comprimento da régua de um metro como sendo de apenas 87 centímetros.

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As Transformações de Lorentz

Este conjunto de equações foi proposto por Lorentz para relacionar medições entre um referencial em movimento (C) e um referencial em repouso (B). A velocidade relativa entre eles é , paralela ao eixo . Repare que quando a velocidade for zero ou muito, muito pequena (comparada à velocidade da luz), nós recuperamos o conjunto conhecido como transformações de Galileu, válido para a física newtoniana.

Este conjunto de equações encerra o pensamento de Lorentz e contém em si a contração espacial, a dilatação temporal e (com mais algumas considerações físicas) o aumento da massa.
 

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Dia de Reis

Dias santos, por se tratarem de uma questão de fé, são sempre envoltos em certo mistério. Misturando partes de história e lenda, suas origens são, por definição, imprecisas e, na maioria das vezes, mutáveis.

Por que o dia 6 de janeiro é chamado “Dia de Reis”?

Parece não haver dúvida que essa celebração tem origem no batismo de Cristo, que teria acontecido, em nosso calendário atual, no dia 6 de janeiro. Mas os primeiros historiadores cristãos, que nos forneceram essa data, reconheciam o dia 20 de maio como o do nascimento de Cristo. Se não os respeitamos em relação à data do nascimento, por que sobreviveu até hoje uma celebração no dia 6 de janeiro?

As igrejas cristãs do oriente celebravam neste dia o nascimento de Cristo; as igrejas cristãs ocidentais fixaram tal evento no dia 25 de dezembro. Essa proximidade entre as datas acabou dando origem ao período de celebração conhecido como “Tempo da Epifânia”, ou “doze dias de Natal”. Atualmente, o dia 6 de janeiro é considerado pela Igreja Católica como o início da Epifânia, e recebe popularmente o nome de “Dia de Reis” em grande parte dos países da América Latina.

Os “reis” em questão são os reis magos, que não eram reis nem tampouco magos. Eram homens sábios, conhecedores de ciência e de magia (ciência e magia freqüentemente eram sinônimos naqueles tempos remotos). Não se sabe ao certo quantos eram os “reis”, mas como o Evangelho de Mateus cita três presentes ofertados, a idéia de que eram três visitantes se disseminou. Não há referências a seus nomes na Bíblia. Posteriormente, surgiram os nomes Baltazar, Gaspar e Melquior. Além de ganharem nomes a posteriori, ganharam também um senso de universalidade, com Baltazar sendo representado em peças artísticas como um mouro e Gaspar com traços orientais. Independentemente dos nomes e da quantidade, historiadores concordam que os “reis magos” (ou melhor, homens sábios) eram astrólogos persas.
Historiadores da Bíblia argumentam que os homens sábios do Oriente não devem ter visitado Cristo antes de seu 40 o dia de vida. Mas reunindo as diferentes celebrações das distintas vertentes cristãs pelo mundo, as pessoas começaram a celebrar o dia 6 de janeiro como o dia da visita dos “reis magos”. Esta tradição se fortaleceu em grande parte dos países latino-americanos e desde então o dia 6 de janeiro é reconhecido popularmente como o Dia de Reis.

Fontes:
Wikipedia (http://en.wikipedia.org)
Catholic Encyclopedia (http://www.newadvent.org/cathen/)

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Equações de Maxwell

Estas equações relacionam o campo elétrico () e o campo magnético (), juntamente com suas variações no espaço (representadas pelo operador diferencial nabla – ) e no tempo . Nas equações de Maxwell também aparecem a corrente (), a densidade de cargas elétricas () e e duas grandezas inerentes ao meio em que os campos elétrico e magnético se propagam: a permissividade () e a permeabilidade (); no caso do vácuo, aparece o subscrito 0.

 1. Lei de Gauss para o campo elétrico    
    

 2. Lei de Faraday-Henry    
    

 3. Lei de Gauss para o campo magnético    
    

 4. Lei de Ampère-Maxwellv    
    

Uma manipulação habilidosa deste conjunto de equações, bastante simplificadas se considerarmos regiões do espaço sem cargas e correntes, resulta em um par de outras equações que são prontamente reconhecidas como equações de ondas:

A teoria ondulatória nos diz que a velocidade de propagação de uma onda é dada pela raiz quadrada do inverso da constante que multiplica o termo temporal de sua equação. Assim, a onda elétrica (e também a magnética) se propaga no vácuo com uma velocidade de

(É muito importante frisar que este valor é calculado, e não medido. Os valores numéricos de
e de são obtidos, e só então é calculada a velocidade da luz).

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Os Primórdios da Relatividade: Einstein

Por Alexandre Cherman (alexandre.cherman@planetario.rio.rj.gov.br)

Invariância é uma propriedade que algumas leis físicas possuem sob certas transformações de sistemas de coordenadas. Ela é muito importante visto que pode ser considerada uma medida da abrangência da validade das equações que regem os processos físicos. As transformações de Galileu mantinham invariantes as equações de movimento propostas por Newton, e isto apenas reforçava a importância da visão do mundo sugerida pelo físico inglês.

Com o surgimento de um novo ramo da física, o eletromagnetismo, percebeu-se que as equações de Maxwell não eram invariantes sob transformações de Galileu. Esta constatação levava à óbvia (e perigosa) bifurcação: ou mexia-se nas transformações de Galileu ou mexia-se nas equações de Maxwell.

Confiante na validade da cinemática proposta pelas equações do eletromagnetismo de Maxwell, Einstein se propôs a encontrar um conjunto de transformações de coordenadas que mantivessem intactas as formas destas equações. Mais precisamente, fez isso através de dois postulados básicos:

1. As leis da física assumem a mesma forma em todos os referenciais inerciais;

2. Em qualquer referencial inercial a velocidade da luz, é sempre a mesma, seja emitida por um corpo em repouso ou por um corpo em movimento uniforme.

Vemos que o primeiro postulado nada mais é do que o argumento de invariância já descrito aqui (repare sempre que Einstein, neste momento, exclui forças e acelerações).

O segundo postulado é o mais importante, por assim dizer. Ele representa uma quebra do bom senso. Imaginemos um lançador de bolas de tênis que lance as referidas bolas a uma velocidade de 10m/s. Vamos colocá-lo, agora, em cima de um caminhão que esteja andando a 5m/s. É óbvio que para um desafortunado tenista que esteja frente a frente com o veículo, as bolas estarão chegando com uma velocidade de 15m/s. O que o segundo postulado de Einstein nos diz é que se o lançador estiver arremessando “bolas de luz” (a 300.000km/s), tanto faz ele estar parado ou em cima de um caminhão em movimento (com uma velocidade de 5m/s ou 200.000km/s): a velocidade das “bolas de luz” será sempre de 300.000km/s. É este desafio ao bom senso que a Relatividade nos apresenta.

Para entendermos como isso é possível, fisicamente, basta abandonarmos a lei de adição comum que usamos para as velocidades (em nosso caso acima, 5+10=15). A nova lei de adição de velocidades, proposta por Einstein, é:

Como em nosso caso, e na grande maioria dos fenômenos cotidianos, a razão

é muito pequena, podemos tomá-la como zero, recaindo na fórmula usual de adição.

Por que Einstein propôs a velocidade da luz como um limite físico para o movimento (sim, pois vemos pela nova regra de adição que nada poderá viajar mais rapidamente do que a luz)? Se a confiança de Einstein na nova dinâmica proposta por Maxwell era limitada, podemos dizer que era total quanto à cinemática. Assim, as equações da onda eletromagnética deveriam ser válidas independentemente da velocidade do observador em relação à luz.

O que veria alguém que viajasse na velocidade da luz? A princípio, não veria nada. Sim, pois as ondas eletromagnéticas não o alcançariam. Mais precisamente, neste referencial comum, a velocidade de propagação da onda é zero, descaracterizando-a como tal. A onda luminosa deixa de existir! Einstein se recusou a concordar com isso. Surgia, então, seu segundo postulado.
A partir de seus dois postulados, Einstein obteve um conjunto de transformações entre dois referenciais inerciais que mantivessem as equações de Maxwell inalteradas. Não por acaso, as transformações obtidas eram as próprias transformações de Lorentz para um deslocamento relativo na direção

Devemos atentar para o fato de que, na época desta sua conclusão, o físico alemão não tinha conhecimento nem da experiência de Michelson e Morley, nem da solução proposta por Lorentz.

Começava aqui o longo caminho de sucesso de um novo ramo da física.

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Os Primórdios da Relatividade: As Transformações de Lorentz

Toda onda necessita de um meio material para se propagar. O som que ouvimos normalmente nada mais é do que variações de pressão em pequenas faixas de ar. Como se costuma dizer na literatura de ficção científica, “no vácuo, ninguém pode ouvir você gritar”; não há um meio para as ondas sonoras viajarem. A onda de luz, e posteriormente a onda eletromagnética, utilizava-se do éter luminífero (aether luminipherus = “ar portador de luz”) para viajar pelo espaço. Este era uma substância estranha e misteriosa que preenchia o espaço vazio, remetendo às idéias clássicas da “quinta essência” de Aristóteles e dos neoplatônicos.

Uma vez que se sabia bem o que era luz, pensou-se em usá-la para estudar o éter. Mais precisamente o movimento da Terra através dele. Em 1881, o físico americano Albert Michelson concebeu um instrumento por ele batizado de interferômetro. Esse aparelho servia para dividir um raio de luz em dois feixes distintos, remetendo cada um deles em uma direção e reunindo-os novamente a seguir. Se os dois feixes percorressem precisamente a mesma distância, com a mesma velocidade, eles se juntariam depois ainda na mesma fase (a luz permanecendo inalterada). Mas se a distância percorrida ou a velocidade mudassem, mesmo que ligeiramente, os feixes reunidos estariam fora de fase e o aparelho registraria uma interferência semelhante à obtida por Young oitenta anos antes.

Michelson projetou os dois feixes de luz em percursos perpendiculares – um dos quais seguia na direção do movimento da Terra através do éter. Como a composição das velocidades (da luz em relação à Terra e da Terra em relação ao éter) seria diferente para os diferentes feixes, o aparelho deveria acusar uma interferência na chegada das ondas. Isso não foi encontrado.

Michelson atribuiu o fracasso de seu experimento ao método utilizado para as medições. Por vários anos ele refinou sua aparelhagem tentando medir as franjas de interferência, por menor que fossem. Já em 1887, auxiliado pelo químico americano Edward Morley (1838-1923), ele executou sua derradeira experiência e mais uma vez não obteve os resultados esperados. Várias explicações pouco prováveis (entre elas a de que a Terra “arrastava” uma porção do éter em seu movimento e por isso a velocidade relativa entre ambos era zero) foram sugeridas, mas nenhuma foi de fato levada a sério. Talvez a experiência de Michelson e Morley tenha sido o fracasso mais importante da história da ciência moderna.

Em 1892, o físico irlandês George Fitzgerald (1851-1901) propôs uma solução para o problema que rompia as barreiras do bom senso. Disse ele que o espaço (i.e., a distância percorrida) se contraía na direção do movimento. Essa mudança na distância seria tal que manteria em fase os feixes de luz viajando em direções distintas. A contração de Fitzgerald, como é conhecida, lembrava o ideal platônico de “salvar os fenômenos”, visto que era uma hipótese complicadora proposta ad hoc.

Seguindo os passos de Fitzgerald, o físico holandês Hendrik Lorentz (1853-1928), em 1895, corroborou a contração de Fitzgerald, incorporando-a às suas idéias sobre sistemas em movimento, e foi mais além. Lorentz postulou que a massa de uma partícula qualquer aumentava à medida que esta atingia velocidades cada vez maiores. Começava aqui a surgir a noção da velocidade da luz como limite máximo no Universo. Este aumento de massa foi medido em laboratório cinco anos depois. Lorentz também ressaltou o fato de que uma contração na distância acarretaria uma dilatação do tempo (o tempo passa mais devagar para quem está se movendo).

Lorentz propôs um conjunto de equações que descreviam estes “fenômenos”. Por deformarem espaço e tempo, estas equações mantinham constante a velocidade da luz, pois velocidade é espaço percorrido dividido pelo tempo. A figura de interferência era impossível, pois a luz sempre viaja com a mesma velocidade, independente da velocidade com que esteja viajando sua fonte!

Um certo físico alemão chegou a estas mesmas conclusões, apesar de ter trilhado um caminho diferente.

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A Beleza dos Números

Todas as curvas, linhas e desenhos em geral, feitos em uma folha de papel, possuem uma regra básica responsável por sua forma e coerência. Muitos conhecem esta regra pelo nome de equação (uma palavra que costuma causar tremores na maioria da população). Uma equação nada mais é do que uma frase escrita em um idioma – Matemática – que descreve o que está sendo visto ou traçado. Assim, posso dizer que uma circunferência é “o lugar geométrico composto por todos os pontos que estão a uma mesma distância (o raio) de um certo ponto em particular (o centro)”. Ou posso dizer que a circunferência é x2 + y2 = r2. A frase matemática é muito mais breve e sucinta do que a escrita em português, ainda que nem todos consigam entendê-la.

Agora, se uma figura pode ser escrita matematicamente, seria justo tentarmos descrever o impressionismo de um Monet ou o surrealismo de um Dali usando esta linguagem? Mais importante ainda, seria possível? Para a segunda resposta, eu diria que sim. É isso que, por exemplo, faz um computador (uma máquina sabidamente burra) ao scannear uma imagem. Ele cria uma espécie de equação para cada um de seus pixels, determinando tonalidades, contrastes e brilhos, reunindo todas estas equações em um grande sistema que forma a imagem na tela. Acho, no entanto, que escrever estas equações todas por extenso (num imenso conjunto de tais frases matemáticas – uma redação) não seria viável. (Da primeira pergunta, covardemente me abstenho, já que definitivamente meu ponto de vista não é neutro e, portanto, eu seria um péssimo juiz.)

Ainda neste tópico, seria necessária tal empreitada? O que lucraria a arte se pudéssemos transcrever com números suas obras-primas? (E aqui, basta lembrarmos que as esculturas são sólidos – figuras de três dimensões -, as melodias são combinações de um conjunto finito de notas e os livros são compostos por apenas 26 letras ordenadas segundo certos parâmetros para vermos que de fato estamos falando de variadas formas de expressão artística.) O que ganharíamos nós? Globalmente, acho que nada (mas confesso que eu, em particular, ficaria bastante feliz).

Poderíamos, com isso, quantificar o conceito de beleza? Ou, como diz o ditado, “quem ama o feio, bonito lhe parece”? Ambas as perguntas podem ser respondidas afirmativamente. Se tomarmos o ideal generalizado de beleza como padrão, poderemos quantificá-la, medi-la e compará-la. Decomponha-se matematicamente uma bela paisagem, uma linda mulher ou uma agradável canção e teremos uma régua calibrada para medirmos tudo o mais que quisermos. Mas, uma vez que nossa régua deu seu veredito, vale a pena olharmos com nossos olhos para decidir: “isso é mesmo bonito?”. A resposta a isso é uma questão pessoal e, há muito já se sabe, gosto não se discute.

Mas falávamos de números. Os números são os blocos primários que usamos nos dias de hoje para entender a natureza que nos cerca. Os números nos permitem entender a proliferação de uma praga em um cafezal, otimizar vacinas, ganhar os céus em pesadas máquinas, imaginar o interior das estrelas, vislumbrar o futuro do Universo. A Matemática traduz conceitos físicos, astronômicos, biológicos, químicos e sociais, ainda que nos dias de hoje ela possa parecer uma linguagem arcana e misteriosa, dominada por uma pequena confraria sinistra que se distancia cada vez mais da população. A ciência, em geral, parece mágica. Parece, apenas.

Estamos ainda muito longe do entendimento do todo, mas caminhando, devagar e sempre, rumo a uma direção desconhecida, um destino fugidio que ora se revela em sua plenitude, ora se esconde maliciosamente. E cada novo passo, trêmulo ou firme, só pode ser dado com o auxílio dos números e toda a bagagem que eles carregam.